Dwa łyki matematyki czyli kwadratura koła

Samo sformułowanie problemu kwadratury koła jest banalne, a problem postawiono w zamierzchłej starożytności. Ot, mając kawałek sznurka, coś do pisania i coś po czym można pisać (w ostateczności palec i piasek) mamy skonstruować koło o polu równym polu zadanego kwadratu. Proste? Proste! Sznurek zastąpiono później dla wygody filozofów linijką bez podziałki i cyrklem, chociaż sznurek doskonale może zastąpić i linijkę i cyrkiel. Pierwszy ogłosił światu zwycięstwo Archimedes – ten od wanny z wodą – udowadniając, że trójkąt prostokątny, którego krótsze ramie jest równe promieniowi koła, a dłuższe równe jego obwodowi ma pole równe polu tego koła. A mając trójkąt w prosty sposób robi się z niego kwadrat i po ptokach. Tyle, że ... jak zrobić dłuższe ramię trójkąta o długości obwodu koła ... tego sposobu zdecydowanie nie można było uznać. Naciągany. Ale rozpalił on gorączkę kwadratury koła bo sugerował, że rozwiązanie jest w zasięgu ręki, tuż i każdy może zostać tym śmiałkiem który zerwie zaczarowane jabłko z ogrodu matematyki, a wraz z nim sława, zaszczyty, pewnikiem też złoto i baby wchodziły w grę (choć nic mi o tym dokładnie nie wiadomo), a to rozpalało gorączkę jeszcze bardziej, aż do ... praktycznie dziś, bo dopiero w 1882 roku niemiecki matematyk Ferdinand Lindemann ostatecznie udowodnił, że problem nie jest rozwiązywalny.

Aby ten dowód sobie przyswoić, należy zrobić szybką powtórkę z liczb. Co to jest liczba to dokładnie nie wiem, ale intuicyjnie wyczuwam. A, że ludzie lubią nadawać nazwy co by zbyt długo się nie rozwodzić nad opisami, to ponazywano i same liczby i nazw tych jest coś ze trzydzieści albo i więcej. I choć uważam, że zbytni rozpęd w coraz to nowych nazwach jest szkodliwy (dla przykładu niech będzie pole jako wielkość fizyczna – coś czego nie ma, nie było i nie będzie, co zaciemnia i komplikuje rozważania, a zostało na siłę przytargane z matematyki) to  w przypadku liczb ma swoje uzasadnienie.

No to lecim. Mamy oś liczbową, taką zwykłą, z pierwszej klasy podstawówki, a na niej liczby. Jest ich dużo, bardzo dużo, nieskończenie wiele, a może i jeszcze ciut, ciut. Ciekawe czy jest na niej liczba PI? Szukamy? Bo jeśli jest to pewnie można ją znaleźć i skonstruować ten cholerny kwadrat, ale jeśli jej tam niema? To i się jej nie znajdzie i z kwadratu nici. Pierwsze pokazują się liczby wymierne, to takie, które wyrażone być mogą np. przez stosunek liczb naturalnych, albo ich ułamków. Takie np. 2/7, albo 0,4532344. Potem Pitagoras dumał, dumał i wydumał nieszczęsny pierwiastek z 2 ku zgrozie uczniów klas chyba trzecich. Zwykła przekątna kwadratu o boku 1 ma długość pierwiastek z 2. I klapa. Pierwsza z szeregu nowych liczb – niewymiernych. Nie można jej przedstawić jako stosunek dwóch liczb wymiernych. Właśnie to od Pieti Golasa mamy podział na liczby wymierne i niewymierne. Później było długo, długo nic, aż do XIX wieku kiedy to odkryto, że te nieszczęsne liczby niewymierne można podzielić na algebraiczne i przestępne. Do tego przyczepiono się do samej osi liczbowej doczepiając do niej pojęcia gęstości i przeliczalności. Wykazano, ze liczby wymierne można ponumerować zgodnie z pewnym schematem i je po prostu przeliczyć, a więc powiedziano, że liczby wymierne są przeliczalne. Sytuacja zaczęła się zagęszczać.

Wprowadzono kolejną klasę liczb – a mianowicie liczby konstruowalne, czyli takie które można skonstruować na osi liczbowej. Oczywiście będą to np. wszystkie liczby wymierne. Co ciekawego można powiedzieć o tych liczbach? Chyba nic, ale jak kogoś to ciekawi to np. niech wie, że: dowolna długość wyrażona liczbą wymierną jest konstruowalna, albo: Stosunek dwóch konstruowalnych odległości również jest konstruowalny, ale też: Pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby całkowitej jest konstruowalny, a co więcej, Pierwiastek kwadratowy dowolnej liczby konstruowalnej jest konstruowalny. Stop. Wystarczy. Wiemy o co chodzi z tymi liczbami konstruowalnymi – to takie, które można pokazać na osi liczbowej.

Teraz uwaga: będzie skok do liczb algebraicznych. Ostatnie twierdzenie Fermata mówi, że równanie x do n + y do n = z do n nie ma żadnych całkowitych wartości n większych od 2. Gdy n=2 to równanie to redukuje się do zwykłego równania Pitagorasa. Idąc śladem tego twierdzenia postanowiono wprowadzić pojęcie liczb algebraicznych jako takich, które są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach całkowitych, a więc i słynne urojone „i” jako pierwiastek z –1. Bardzo fajnie jest korzystać z pracy i wysiłku innych i dlatego nie będę przytaczał cząstkowych dowodów wysnutych przez innych matematyków, a zapodam jedynie istotę ich twierdzeń. I tak pierwszy skrót: Każda liczba konstruowalna jest liczbą algebraiczną. Niby każdy łapie na wyczucie, że tak jest, ale sam dowód przynudza. I na koniec liczby przestępne. Zbiór (ciało) liczb wymiernych całkowicie zawiera się w zbiorze liczb konstruowalnych. Zbiór liczb wymiernych całkowicie zawiera się również w zbiorze liczb algebraicznych. Zbiór liczb algebraicznych wcale, a wcale nie jest bardziej liczny od zbioru wszystkich liczb całkowitych (twierdzenie Cantora), bo liczbom wymiernym można przyporządkować liczby całkowite (przeliczyć je bo są przecież przeliczalne), ale tak samo i liczbom algebraicznym można to samo zrobić. Ale liczbom rzeczywistym to już nie. (kolejne twierdzenie jakiegoś kogoś). Można więc stwierdzić, że po „wyjęciu” ze zbioru liczb rzeczywistych liczb algebraicznych zostanie tam sporo innych liczb. I to są liczby przestepne. I jest ich o wiele więcej niż algebraicznych. No to może liczba PI jest liczbą przestępną? Trafiony-zatopiony. Liczba PI jest liczbą przestępną. Twierdzenie Lindemana-Weierstrassa jest odpychające, a dowód skłania koty do wymiotów, ale przy mocno zaciśniętych zębach wychodząc z równania b1e do a1 + b2e do a2 + .... nie równa się 0, gdzie a i b są liczbami algebraicznymi dochodzimy do w miarę estetycznego wzoru e do iPi = -1. Jest to piękny wzór, gdyż wiąże zaczarowane stałe naszego wszechświata: liczbę Pi, podstawę logarytmu naturalnego „e” i „i” jako liczbę urojoną. Wartość Pi oczywiście jest dalej na naszym celowniku.

Gdyby Pi była liczbą algebraiczną, a nie przestępną, można by było zapisać szczególny przypadek równania Weierstrassa z tylko dwoma wyrazami. Niech b = 1, a1=iPi a a2=0. Zgodnie z twierdzeniem Lindemana-Weierstrassa dostaniemy E do iPi + 1 nie równa się 0. Przeczy to wcześniejszemu równaniu, więc Pi nie może być algebraiczne. Jest liczbą przestępną.

Skoro liczba przestępna z definicji nie jest liczbą algebraiczną, a każda liczba konstruowalna jest liczbą algebraiczną, to niestety liczba Pi będąca przestępną, nie może być konstruowalną.

I już. Bo jak nie jest konstruowalna, to za cholerę nikt nie będzie w stanie jej skonstruować w żaden sposób. Dwa i pół tysiąca lat zajęło rozwiązanie banalnego na pozór problemu.